想象你是一位班主任。期末考试刚结束，五个班的数学成绩堆在你桌上。你要向年级组长汇报，但不能把几百个分数念一遍——你得把数据"压缩"成几个数，让人一听就懂。

统计学干的就是这件事：用尽量少的数字，把数据最重要的特征说清楚。

算术平均值

最直觉的"代表值"。把所有数加起来，除以个数：

其中是算术平均值，是第个观测值，是观测个数。

假设班里五个人的考试成绩是 72、78、85、90、95。平均分就是把这五个数加起来再除以 5，得到 84。

scores = [72, 78, 85, 90, 95]
mean_score = sum(scores) / len(scores)
print(f"算术平均值: {mean_score}")

算术平均值

平均值的优点是好算、好懂。但它有个致命弱点——被极端值拖着跑。如果班上来了个考 20 分的转学生，平均分直接从 84 掉到 73.3，但其他五个人的水平其实没变。

所以我们需要别的指标来补充。

几何平均值

算术平均值适合"加法关系"的数据，比如考试分数叠加。但有些数据是"乘法关系"——比如投资收益率。

你买了只基金，第一年涨 50%，第二年跌 50%。算术平均告诉你平均收益是 0%，好像没亏没赚。但实际呢？100 块 × 1.5 × 0.5 = 75 块，亏了 25%。算术平均在这里骗了你。

几何平均才对。把各期收益率加 1 后连乘、再开次方，最后减 1：

对于收益率场景，，最终结果再减 1 还原为收益率。

import numpy as np

returns = [0.50, -0.50]
geo_mean = np.prod([1 + r for r in returns]) ** (1 / len(returns)) - 1
arith_mean = np.mean(returns)

print(f"算术平均收益率: {arith_mean:.2%}")
print(f"几何平均收益率: {geo_mean:.2%}")
actual = 100 * (1 + returns[0]) * (1 + returns[1])
print(f"100元两年后实际值: {actual:.1f}元")

几何平均值

几何平均值永远是"保守"的那一方。只要数据有波动，几何平均就小于算术平均。金融里看长期回报，几何平均才是真朋友。

中位数

回到考试成绩。五个人考了 72、78、85、90、95，中位数就是中间那个——85。如果有六个人，比如 20、72、78、85、90、95，中位数取中间两个的平均，即 (78+85)/2 = 81.5。

中位数为奇数为偶数

其中是排序后的数据。

scores_with_outlier = [20, 72, 78, 85, 90, 95]
median_score = np.median(scores_with_outlier)
mean_score = np.mean(scores_with_outlier)

print(f"含极端值的均值: {mean_score:.1f}")
print(f"含极端值的中位数: {median_score:.1f}")

中位数

中位数不怕极端值捣乱。房价统计里常用中位数，就是因为几套上亿的豪宅就能把均值拉飞，但中位数纹丝不动。当数据偏态严重时，中位数比均值更能代表"典型情况"。

众数

出现次数最多的那个数。班上 30 个人的鞋码，穿 42 码的有 9 人最多，42 就是众数。售货员进货看众数，不看平均。

众数

其中是值在数据中出现的频次。

众数可以不止一个。如果 42 码和 43 码都是 9 个人，那就叫双众数。

shoe_sizes = [38, 39, 40, 40, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42,
              43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 47]
from scipy import stats as sp_stats
mode_result = sp_stats.mode(shoe_sizes, keepdims=True)
print(f"众数: {mode_result.mode[0]}，出现 {mode_result.count[0]} 次")

众数

均值、中位数、众数的选取没有标准答案，取决于数据特性和你要回答的问题。正态分布时三者几乎相等，偏态分布时三者分家——均值被尾巴拖着走，中位数稳在中间，众数守在峰顶。

期望

期望是概率论版的均值。区别在于：均值是对已有数据求平均，期望是对概率模型求加权平均。

其中是所有可能的结果，是该结果发生的概率。

掷骰子，点数 1 到 6 概率各 1/6。期望 = 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6) = 3.5。你没掷过一次，但数学告诉你"长期来看"的结果就是 3.5。

outcomes = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
probs = np.array([1/6] * 6)
expectation = np.sum(outcomes * probs)
print(f"骰子点数的期望: {expectation}")

期望

现实中的彩票也有期望。花 2 块钱买一张，中奖概率 1%，奖金 100 块。期望收益 = 100×0.01 + 0×0.99 = 1 块，低于票价 2 块。长期买一定亏。赌场同理，每局的期望收益都是负的，这就是"赌场优势"。

当数据量大且每个观测等概率时，样本均值就是期望的估计。小样本时两者差别可能很大——你掷十次骰子均值可能是 4.2，但期望永远是 3.5。

方差

知道了"中心在哪"，还得知道"数据有多散"。方差就是衡量散度的工具。

方差把每个数与均值的差平方后求平均。为什么要平方？因为正负偏差会抵消，差值 10 和 -10 一加等于零，好像没偏差。平方一下就都是正数了，跑不掉。

其中是样本方差，分母用（贝塞尔校正），是样本均值。

scores = [72, 78, 85, 90, 95]
var_score = np.var(scores, ddof=1)
print(f"方差: {var_score:.2f}")

方差

这里 ddof=1 是因为样本方差除以 n-1 而非 n。这是贝塞尔校正：用样本估计总体时，n 个数据点中只有 n-1 个是自由变动的（最后一个被均值锁定了），所以除以 n 会系统低估真实方差。n 很大时二者差别不大，n 小的时候不校正就差得远。

方差直观上不好理解——"分数方差 84.5"到底是啥意思？因为单位变成了"分的平方"，跟原数据不在一个量纲上。所以我们需要标准差。

标准差

标准差就是方差开根号。回到原始量纲，秒变好懂。

std_score = np.std(scores, ddof=1)
print(f"标准差: {std_score:.2f}")

标准差

标准差 9.19 的意思：每个人大概在均值 84 上下浮动 9 分左右。大约 68% 的数据落在均值 ±1 个标准差内，95% 落在 ±2 个标准差内（这是正态分布的特性）。

身高、考试、温度——只要数据大致正态，标准差就是你最实用的"散度标尺"。报一个均值加一个标准差（比如 170 cm ± 6 cm），比列几百个数据有用得多。

标准误

标准差和标准误，名字差一个字，说的完全不是一回事。

标准差描述个体差异。一个班 30 人身高标准差 6 cm，说的是同学之间身高差多少。

标准误描述均值的精度。你从全校随机抽 30 人算平均身高，得 170 cm。再抽 30 人，可能得 171 cm。反复抽样，这些均值的波动程度就是标准误：

其中是样本标准差，是样本量。

sample_size = 30
sd = 6.0
se = sd / np.sqrt(sample_size)
print(f"标准差 SD = {sd}")
print(f"标准误 SE = {se:.2f}")

标准误

关键区别：标准差不会因为多量几个人而变小——人的身高差异是客观存在的。标准误会！量 100 人时 SE = 0.6，量 1000 人时 SE = 0.19。样本越大，均值估计越精确，标准误越小。

论文里报"被试年龄 25.3 ± 4.2 岁"用的是标准差，描述样本本身。"均值差 = 3.1, SE = 0.8"用的是标准误，描述估计的可靠性。混用是最常见的统计报告错误。

自由度

前面算样本方差用了 n-1，这个减掉的 1 就是"损失的自由度"。

什么叫自由度？自由变动的数据点个数。3 个数的均值是 10，其中两个是 8 和 12，第三个必须是 10——被均值锁定了，自由度只有 2。

其中是数据点总数，是需要估计的参数个数（单样本均值消耗 1 个，所以；独立双样本各消耗 1 个，所以）。

独立样本 t 检验里，两组各 n 人，自由度是 2n-2。因为每组的均值消耗了 1 个自由度。自由度决定 t 分布的形状：样本越小，t 分布越胖（尾部越厚），因为信息不足，判断要更保守。

n1, n2 = 30, 30
df_pooled = n1 + n2 - 2
print(f"合并自由度: {df_pooled}")

自由度

t 值

现在进入推断统计。t 值回答的问题是：两组均值差异，是真差异还是抽样噪声？

其中是两组样本均值，是均值差的标准误，是合并标准差：

分母用的是标准误而非标准差。因为你检验的是"均值差是否为零"，均值差的波动由标准误度量。

control = np.random.normal(loc=70, scale=12, size=30)
experiment = np.random.normal(loc=78, scale=12, size=30)
mean_diff = np.mean(experiment) - np.mean(control)

sd_c, sd_e = np.std(control, ddof=1), np.std(experiment, ddof=1)
pooled_sd = np.sqrt(((30-1)*sd_c**2 + (30-1)*sd_e**2) / (30+30-2))
se_diff = pooled_sd * np.sqrt(1/30 + 1/30)

t_value = mean_diff / se_diff
print(f"均值差: {mean_diff:.2f}")
print(f"均值差标准误: {se_diff:.2f}")
print(f"t 值: {t_value:.3f}")

t值

t 值本质上是个信噪比。分子是信号（差异），分母是噪声（抽样的自然波动）。t 大说明信号强于噪声，差异可能真实；t 小说明信号淹没在噪声里，差异可能只是巧合。

t 值与 Cohen's d 有精确的数学关系：

t 值同时编码了效应大小和样本量，而 d 通过乘以样本量因子把 n 的影响剥离出去。

p 值

t 值还不够，你需要一步概率翻译：在零假设（两组没有真实差异）成立的前提下，观测到当前 t 值或更极端情况的概率，就是 p 值。

其中是服从分布的随机变量，是实际观测到的 t 值，是零假设。

p 值小意味着"如果没差异，出现这么大的 t 值太离谱了"，因此有理由怀疑零假设。p 值大意味着"没差异也能轻松产生这样的 t 值"，没有理由拒绝零假设。

from scipy import stats
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(experiment, control)
print(f"t = {t_stat:.3f}, p = {p_value:.4f}")

p值

但 p 值有个坑：它对样本量极度敏感。n 很大时，微不足道的差异也能给出极小的 p 值。1 万人测出两组身高差 0.1 cm，p < 0.001，统计上"显著"，实际上毫无意义。p 值只告诉你"差异是否可检测"，不告诉你"差异有多大"。这就是为什么必须报告效应量。

Cohen's d 效应量

Cohen's d 用标准差作分母，度量两组分布在原始尺度上的分离程度：

其中是合并标准差（与 t 值公式中同一个），是均值差。

注意分母是标准差，不是标准误！效应量是总体的属性，不应该因为多量了几个人就变大。标准差估计的是总体真值，和 n 无关。

cohens_d = mean_diff / pooled_sd
print(f"Cohen's d = {cohens_d:.3f}")

Cohen's d

Cohen 本人给了粗略参考：0.2 是小效应，0.5 是中等，0.8 是大效应。但这些只是经验约定，具体领域差异很大。心理学里 d = 0.3 可能很重要，流行病学里 d = 0.1 就值得干预。

一个完整的统计报告应该是：t = 3.57, p = 0.001, d = 0.65。三个数各司其职——t 说什么尺度上的信噪比，p 说零假设下这有多不可能，d 说效应本身有多大。

回头看整条逻辑线：

算术平均、几何平均、中位数、众数是从不同角度看"数据中心在哪"；

方差和标准差衡量"数据有多散"；标准误把散度从个体层面转换到均值层面，是迈向推断的桥梁；

t 值用标准误当尺子衡量差异的显著性，p 值把 t 值翻译成概率，Cohen's d 用标准差当尺子衡量差异的实际大小。

标准差属于数据本身，标准误属于估计过程——这个区分搞清楚了，t 值和 Cohen's d 的分母为什么不同就不言自明。

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