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一个看似简单的问题

把手机随手拍在一块倾斜的桌面、岩层面或者墙面上，不管手机是横着放、竖着放、还是斜着扭一个角度贴上去，只要它紧贴着那个平面，手机总能算出这个平面「朝哪个方向倾、倾多少度」。地质上把这两个量叫产状：倾向（dip direction）和倾角（dip）。手机里的「产状测量」「电子罗盘」App 干的就是这件事。

关键的直觉是：手机贴在平面上时，它自己的朝向是任意的（你可以随便转），但它背面（屏幕法线）永远垂直于那个平面。所以平面的产状只跟法线有关，跟手机怎么摆无关。这篇文章把这套逻辑从头推一遍，给出可复现的计算案例和可视化。

三个姿态角的英文说法

描述一个刚体在空间里的朝向，最常用的是三个欧拉角。中英文对照如下：

• 俯仰角 —— Pitch，绕横轴（x 轴，机体的左右方向）旋转，抬头/低头。
• 横滚角 —— Roll，绕纵轴（y 轴，机体的前后方向）旋转，左右翻滚。
• 偏航角 —— Yaw，绕竖轴（z 轴，垂直机体平面）旋转，也就是航向（Heading）。

在航空航天里这三个词几乎是固定搭配。另外你还会见到几个近义词：航向角常写作 Heading 或 Azimuth（方位角）；整体姿态叫 Attitude 或 Orientation；三个角合起来常缩写为 RPY（Roll-Pitch-Yaw）。手机传感器文档里则叫 Pitch / Roll / Azimuth。

坐标系与旋转约定

要把话说清楚，先固定两个坐标系。

世界系（导航系）用 ENU：x 轴指向正东（East），y 轴指向正北（North），z 轴指向天顶（Up）。这是本地水平坐标系的标准约定之一。

机体系（手机系）：x 轴指向手机右侧，y 轴指向手机顶部，z 轴垂直屏幕向外——这正是手机加速度计/陀螺仪的常见轴向。

姿态就是一个旋转矩阵 $R$，它把机体系的坐标变换到世界系。$R$ 的三个列向量，恰好就是机体三个轴在世界系（ENU）里的方向。我们采用 Z-X-Y 的旋转次序（先偏航、再俯仰、后横滚）：

$$R = R_z(\text{yaw})\, R_x(\text{pitch})\, R_y(\text{roll})$$

其中各基本旋转为：

$$R_x(\alpha)=\begin{bmatrix}1&0&0\0&\cos\alpha&-\sin\alpha\0&\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix},\quad R_y(\beta)=\begin{bmatrix}\cos\beta&0&\sin\beta\0&1&0\-\sin\beta&0&\cos\beta\end{bmatrix},\quad R_z(\gamma)=\begin{bmatrix}\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\sin\gamma&\cos\gamma&0\0&0&1\end{bmatrix}$$

手机的姿态怎么来的？静止时，加速度计测得的是重力反方向（近似天顶方向），由此可解出 pitch 和 roll；磁力计测得地磁水平分量，配合前两个角度可解出 yaw（航向）。这三个角就是我们的输入。

核心一步：屏幕法线的方向

手机贴在平面上，手机的 z 轴（屏幕法线）就等于平面的法线。而机体 z 轴在世界系里的方向，正是旋转矩阵的第三列：

$$\mathbf{n} = R \begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix} = R_{:,3}$$

把 $R = R_z R_x R_y$ 展开，第三列只跟 pitch、yaw 有关（roll 是绕 y 轴自身，不改变 y 轴、也就不改变第三列的方向）：

$$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} n_E \ n_N \ n_U \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin(\text{yaw})\cos(\text{pitch}) \ \cos(\text{yaw})\cos(\text{pitch}) \ \cos(\text{pitch}) \end{bmatrix}$$

这就是「怎么摆都一样」的数学原因：roll 不出现在法线公式里。你绕着屏幕法线随便自转（改变的是 roll 和一部分 yaw 的组合），只要 z 轴指向不变，法线就不变，产状自然不变。

从法线到产状（倾向与倾角）

有了单位法线 $\mathbf{n}=(n_E, n_N, n_U)$（约定朝上，若 $n_U<0$ 就整体取反），产状就是简单的几何：

倾角 是平面与水平面的夹角，等于法线与竖直方向的夹角：

$$\text{dip} = \arccos\left(n_U\right)$$

倾向 是平面「最陡下坡」方向的水平方位角，从正北起顺时针度量。最陡下坡方向是法线在水平面的投影的反方向，因此：

$$\text{dip direction} = \operatorname{atan2}\left(-n_E,\; -n_N\right) \bmod 360^\circ$$

反过来，已知产状也能重建法线，用于校验：设上倾方位角 $\phi = (\text{dip direction} + 180^\circ)$，则

$$\mathbf{n} = \big(\sin(\text{dip})\sin\phi,\; \sin(\text{dip})\cos\phi,\; \cos(\text{dip})\big)$$

关键演示：同一平面，两种任意摆法

下面这个 GIF 是全文的核心。同一个倾斜平面，手机绕着屏幕法线不停自转（模拟你「随便怎么贴」）。注意看：上面一行的 yaw / pitch / roll 一直在剧烈变化，而下面一行的 倾角、倾向纹丝不动。

我们用一个具体的平面来跑数值——真实产状定为倾角 35°、倾向 120°，对应法线（ENU）为 $(-0.4967,\ 0.2868,\ 0.8192)$。然后用两种完全不同的摆法把手机贴上去：

两种摆法的三个欧拉角天差地别，但反算出来的法线一模一样，产状都精确回到 35°/120°。这正是手机「怎么放都能测」的底气。

完整可复现代码

下面是从三个姿态角到产状的核心函数，以及上面案例的验证。可直接运行。

import numpy as np
r2d, d2r = np.rad2deg, np.deg2rad

def Rx(a): c,s=np.cos(a),np.sin(a); return np.array([[1,0,0],[0,c,-s],[0,s,c]])
def Ry(a): c,s=np.cos(a),np.sin(a); return np.array([[c,0,s],[0,1,0],[-s,0,c]])
def Rz(a): c,s=np.cos(a),np.sin(a); return np.array([[c,-s,0],[s,c,0],[0,0,1]])

def R_from_ypr(yaw, pitch, roll):
    return Rz(yaw) @ Rx(pitch) @ Ry(roll)      # 列 = 机体轴在 ENU 中的方向

def attitude_from_normal(n):
    n = n/np.linalg.norm(n)
    if n[2] < 0: n = -n                          # 法线取朝上
    dip = r2d(np.arccos(np.clip(n[2], -1, 1)))
    dip_dir = r2d(np.arctan2(-n[0], -n[1])) % 360
    return dip, dip_dir

def normal_from_attitude(dip, dip_dir):
    up = d2r((dip_dir + 180) % 360)
    return np.array([np.sin(d2r(dip))*np.sin(up),
                     np.sin(d2r(dip))*np.cos(up),
                     np.cos(d2r(dip))])

# 真实平面：倾角35°，倾向120°
n_true = normal_from_attitude(35, 120)

# 摆法一：yaw=60, pitch=-35, roll=0
R1 = R_from_ypr(d2r(60), d2r(-35), d2r(0))
print(attitude_from_normal(R1 @ [0,0,1.0]))   # -> (35.0, 120.0)

# 摆法二：yaw=-168.7, pitch=24.8, roll=25.53
R2 = R_from_ypr(d2r(-168.70), d2r(24.80), d2r(25.53))
print(attitude_from_normal(R2 @ [0,0,1.0]))   # -> (35.0, 120.0)

别忘了磁偏角与经纬度

上面算出来的倾向是相对手机航向的，而手机航向来自磁力计，指的是磁北。地质记录和地图用的是真北。两者之差就是磁偏角（magnetic declination），它随经纬度和年份变化，可由 WMM/IGRF 地磁模型按位置查得。校正很简单：

$$\text{倾向}{\text{真北}} = \big(\text{倾向}\big) \bmod 360^\circ$$}} + \text{磁偏角

以重庆（纬度 29.563°、经度 106.551°）为例，磁偏角约 −1.9°（西偏），则磁北倾向 120° 对应真北倾向 118.10°。

如果还想把这个法线放到全球统一的地心地固坐标系（ECEF）里——比如做跨区域的构造统计——就要用经纬度做一次 ENU→ECEF 旋转：

$$\begin{bmatrix}X\Y\Z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-\sin\lambda & -\sin\varphi\cos\lambda & \cos\varphi\cos\lambda\ \cos\lambda & -\sin\varphi\sin\lambda & \cos\varphi\sin\lambda\ 0 & \cos\varphi & \sin\varphi\end{bmatrix} \begin{bmatrix}n_E\n_N\n_U\end{bmatrix}$$

其中 $\varphi$ 是纬度、$\lambda$ 是经度。同一块岩层面在重庆测得的法线，换算到 ECEF 就是 $(0.3135, 0.6889, 0.6536)$。这样，无论你在地球上哪个位置，任意时刻、任意摆法测到的产状，都能落到同一套全局坐标里比较。

小结

整条链路其实非常干净：

1. 手机静止时用加速度计+磁力计解出 yaw / pitch / roll 三个姿态角；
2. 组成旋转矩阵 $R$，取第三列得到屏幕法线 $\mathbf{n}$——这一步天然把 roll 消掉，所以怎么摆都行；
3. 由法线用 $\arccos$ 和 $\operatorname{atan2}$ 直接读出倾角和倾向；
4. 用磁偏角把磁北换成真北，必要时用经纬度把法线搬进 ECEF 全局坐标。

一部手机、几行三角函数，就复刻了地质罗盘的核心功能。而它「随便怎么放都准」的秘密，不过是一句话：产状只认那根垂直于平面的法线，不认手机自己转了多少。